Algèbre linéaire Exemples

$3 x = - 3 (3 y - 4)$ , $9 x + 27 = 36$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x = - 3 (3 y) - 3 \cdot - 4, 9 x + 27 = 36$

Étape 1.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$3 x = - 9 y - 3 \cdot - 4, 9 x + 27 = 36$

Étape 1.3

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$3 x = - 9 y + 12, 9 x + 27 = 36$

Étape 2

Ajoutez $9 y$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x + 9 y = 12, 9 x + 27 = 36$

Étape 3

Soustrayez $27$ des deux côtés de l’équation.

$3 x + 9 y = 12, 9 x = 36 - 27$

Étape 4

Soustrayez $27$ de $36$ .

$3 x + 9 y = 12, 9 x = 9$

Étape 5

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 3 & 9 & 12 \\ 9 & 0 & 9 \end{array}]$

Étape 6

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 6.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Étape 6.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{9}{3} & \frac{12}{3} \\ 9 & 0 & 9 \end{array}]$

Étape 6.1.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 4 \\ 9 & 0 & 9 \end{array}]$

Étape 6.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 9 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 6.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 9 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 4 \\ 9 - 9 \cdot 1 & 0 - 9 \cdot 3 & 9 - 9 \cdot 4 \end{array}]$

Étape 6.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 4 \\ 0 & - 27 & - 27 \end{array}]$

Étape 6.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{27}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 6.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{1}{27}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 4 \\ - \frac{1}{27} \cdot 0 & - \frac{1}{27} \cdot - 27 & - \frac{1}{27} \cdot - 27 \end{array}]$

Étape 6.3.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 6.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 6.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 4 - 3 \cdot 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 6.4.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}]$

Étape 7

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$x = 1$

$y = 1$

Étape 8

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(1, 1)$

Étape 9

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$